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[单项选择]设向量a1=(1,2,0)T,a2=(2,3,1)T,a3=(0,1,-1)T,β=(3,5,k)T,若β可由a1,a2,a3线性表示,则k=()。
A. 1
B. -1
C. -2
D. 2
[填空题]设a1=(1,2,-1,0)T,a2=(1,1,0,2)T,a3=(2,1,1,a)T,若有a1,a2,a3生成的向量空间维数为3,则a应满足______.
[单项选择]设A=(a1,a2,a3,a4)是4阶矩阵,A*为A的伴随矩阵.若(1,0,1,0)T是方程组Ax=0的一个基础解系,则A·x=0的基础解系可为()。
A. a1,a3.
B. a1,a2.
C. a1,a2,a3.
D. a2,a3,a4.
[简答题]设A3×3是实对称矩阵,|A|=-12,A的三个特征值之和为1,且α=(1,0,-2)T是方程组(A*-4E)x=0的一个解向量。
(Ⅰ)求矩阵A;
(Ⅱ)求方程组(A*+6E)x=0的通解。
[多项选择]已知A=E+αβT,其中α=(a1,a2,a3)T,β=(b1,b2,b3)T且αTβ=2
(Ⅰ)求矩阵A的特征值与特征向量;
(Ⅱ)证明A可逆,并求A-1;
(Ⅲ)求行列式|A*+E|的值.
[简答题]已知A=E+αβT,其中α=(a1,a2,a3)T,β=(b1,b2,b3,)T,且αTβ=2.
证明A可逆,并求A-1;
[简答题]已知A=E+αβT,其中α=(a1,a2,a3)T,β=(b1,b2,b3,)T,且αTβ=2.
求行列式|A*+E|的值.
[简答题]已知A=E+αβT,其中α=(a1,a2,a3)T,β=(b1,b2,b3,)T,且αTβ=2.求矩阵A的特征值与特征向量;
[填空题]若a1=(1,3,4,-2)T,a2=(2,1,3,t)T,a3=(3,-1,2,0)T线性相关,则t=______.
[简答题]确定常数a,使向量组a1=(1,1,a)T,a2=(1,a,1)T,a3=(a,1,1)T可由向量组β1===(1,1,a)T,β2=(-2,a,4)T,β3=(-2,a,a)T线性表示,但向量组β1,β2,β3不能由向量组a1,a2,a3线性表示.
[简答题]
设a1,a2,a3是复平面上的三个数,a1+a2+a3=0,且满足等式a12+a22+a32=a1a2+a2a3+a3a1。
证明(1)(z-a1)(z-a2)(z-a3)=z3-a1a2a3;
(2)以a1,a2,a3为顶点的三角形为正三角形。
[单项选择]设a1,a2,a3,a4,a5是4维向量,下列命题中正确的是
(A) 如果a1,a2,a3,a4,线性相关,那么k1,k2,k3,k4不全为0时,有k1a1+k2a2+k3a3+k4a4=0.
(B) 如果a1,a2,a3,a4线性相关,那么当k1a1+k2a2+k3a3+k4a4=0时,有k1,k2,k3,k4不全为0.
(C) 如果a5不能由a1,a2,a3,a4线性表出,那么a1,a2,a3,a4必线性相关.
(D) 如果a1,a2,a3,a4线性相关,那么a5不能由a1,a2,a3,a4线性表出.
[简答题]设A为3阶矩阵,a1,a2为A的分别属于特征值-1,1的特征向量,向量a3满足Aa3=a2+a3.
令P=(a1,a2,a3),求P-1AP.
[简答题]设A为3阶矩阵,a1,a2为A的分别属于特征值-1,1的特征向量,向量a3满足Aa3=a2+a3.
证明a1,a2,a3线性无关;
[填空题]已知向量组a1=(1,2,0,1)T,a2=(2,-1,1,-1)T,a3=(3,a,1,0)T,a4=(1,2,3,a+3)T,a5=(4,3,a,1)T的秩为3.则其极大线性无关组是______.
[单项选择]向量组a1=(1,-1,2,4)T,a2=(0,3,1,2)T,a3=(3,0,7,14)T,a4=(1,-2,2,0)T,a5=(2,1,5,10)T的极大线性无关组不能是()。
A. a1,a2,a4
B. a2,a3,a4
C. a1,a4,a5
D. a1,a3,a5
[单项选择]设an是公差为正数的等差数列,若a1+a2+a3=15,a1a2a3=80,则a11+a12+a13=()。
A. 120
B. 105
C. 90
D. 75