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[简答题]设向量α=(a
1
，a
2
，…，a
n
)
T
，其中a
1
≠0，A=αα
T
．
(1)求方程组AX=0的通解；
(2)求A的非零特征值及其对应的线性无关的特征向量．
[简答题]设向量α=(a1，a2，…，an)T，β=(b1，b2，…，bn)T都是非零向量，且满足条件αTβ=0．记n阶矩阵A=αβT．求：
(1) A2;
(2) 矩阵A的特征值和特征向量．
[简答题]确定常数a，使向量组a1=(1，1，a)T，a2=(1，a，1)T，a3=(a，1，1)T可由向量组β1===(1，1，a)T，β2=(-2，a，4)T，β3=(-2，a，a)T线性表示，但向量组β1，β2，β3不能由向量组a1，a2，a3线性表示．
[单项选择]设a1，a2，a3，a4，a5是4维向量，下列命题中正确的是
(A) 如果a1，a2，a3，a4，线性相关，那么k1，k2，k3，k4不全为0时，有k1a1+k2a2+k3a3+k4a4=0．
(B) 如果a1，a2，a3，a4线性相关，那么当k1a1+k2a2+k3a3+k4a4=0时，有k1，k2，k3，k4不全为0．
(C) 如果a5不能由a1,a2,a3,a4线性表出，那么a1,a2,a3,a4必线性相关．
(D) 如果a1,a2,a3,a4线性相关，那么a5不能由a1,a2,a3,a4线性表出．
[简答题]设向量α=(a
1
，a
2
，…，a
n
)
T
，β=(b
1
，b
2
，…，b
n
)
T
都是非零向量，且满足条件α
T
β=0．记n阶矩阵A=αβ
T
，试求：矩阵A的特征值和特征向量．
[单项选择]设向量a1=(1，2，0)T，a2=(2，3，1)T，a3=(0，1，-1)T，β=(3，5，k)T，若β可由a1，a2，a3线性表示，则k=（）。
A. 1
B. -1
C. -2
D. 2
[简答题]
设A为三阶实对称矩阵，A的秩为2，且向量a1=(-1，2，-1)T，a2=(0，-1，1)T是线性方程组(A-E)x=0的两个解．
求A的特征值和特征向量。
[简答题]设A为3阶矩阵，a1，a2为A的分别属于特征值-1，1的特征向量，向量a3满足Aa3=a2+a3．
令P=(a1，a2，a3)，求P-1AP．
[简答题]设A为3阶矩阵，a1，a2为A的分别属于特征值-1，1的特征向量，向量a3满足Aa3=a2+a3．
证明a1，a2，a3线性无关；
[简答题]设A为三阶方阵，a为三维列向量，已知向量组α，Aα，A2α线性无关，且A3α=3Aα-2A2α．
证明：(Ⅰ) 矩阵B=(α，Aα，A4α)可逆；
(Ⅱ) BTB是正定矩阵．
[填空题]设α，β都是n维非零列向量，矩阵A=2E-αβT，其中E是n阶单位矩阵．若A2=A+2E，则αTβ=______．
[单项选择]向量组a1，a2，…，as（s≥2）线性无关，设β1+a1+a2，β2=a2+a3，…，βs-1，=as-1+as，βs=as+a1，则β1，β2，…，βs（）。
A. 线性相关
B. 线性无关
C. s为奇数时线性相关，s为偶数时线性无关
D. s为奇数时线性无关，s为偶数时线性相关
[简答题]设A为三阶方阵，α为三维列向量，已知向量组α，Aα，A2α线性无关，且A3α=3Aα-2A2α。
证明：
BTB是正定矩阵。
