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[简答题]设A为三阶方阵,α为三维列向量,已知向量组α,Aα,A2α线性无关,且A3α=3Aα-2A2α.
证明:(Ⅰ)矩阵B=(α,Aα,A4α)可逆;
(Ⅱ)BTB是正定矩阵.
[简答题]已知2维非零向量x不是2阶方阵A的特征向量.
(1)证明:x,Ax线性无关;
(2)若A2x+Ax-6x=0,求A的特征值并讨论A可否相似对角化.
[简答题]已知二维非零向量X不是二阶方阵A的特征向量.
证明X,AX线性无关
[简答题]设A是各行元素之和均为0的三阶矩阵,α,β是线性无关的三维列向量,并满足Aα=3β,Aβ=3α.
(Ⅰ)证明矩阵A和对角矩阵相似;
(Ⅱ)如α=(0,-1,1)T,β=(1,0,-1)T,求矩阵A;
(Ⅲ)用配方法化二次型xTAx为标准形,并写出所用坐标变换.
[单项选择]设向量组α1,α2,α3线性无关,则下列向量组中,线性无关的向量组是()。
A. α1+α2,α2+α3,α3-α1
B. α1+α2,α2+α3,α1+2α2+α3
C. α1+2α2,α2+2α3,α3+α1
D. α1+α2,2α2+α3,α1+3α2+α3
[填空题]设三阶方阵A=(α,γ1,γ2),B=(β,γ1,γ2),其中α,β,γ1,γ2均为三维列向量,且|A|=2,|B|=4,则|2A-3B|=______.
[简答题]已知三阶矩阵A与三维向量x,使得向量组x,Ax,A2x线性无关,且满足A3x=3Ax-2A2x:
(Ⅰ)记P=(x,Ax,A2x)求三阶矩阵B,使得A=PBP-1;
(Ⅱ)计算行列式|A+E|。
[简答题]已知3阶矩阵A与3维列向量α,若α,Aα,A2α线性无关,且A3α=3Aα-2A2α,试求矩阵A的特征值与特征向量.
[简答题]已知二维非零向量X不是二阶方阵A的特征向量.
(Ⅰ) 证明:X,AX线性无关.
(Ⅱ) 若A2X+AX-6X=0,求A的特征值,并讨论A可否相似对角化.
[单项选择]已知向量组a1,a2,a3,a4线性相关,则向量组()。
A. a1+a2,a2+a3,a3+a4,a4+a1线性无关
B. a1+a2,a2-a3,a3-a4,a4-a1线性无关
C. a1+a2,a2+a3,a3+a4,a4-a1线性无关
D. a1+a2,a2+a3,a3-a4,a4-a1线性无关
[单项选择]设向量组α1,α2,α3线性无关,则下列向量组中线性无关的是()。
A. α1+α2,α2+α3,α3-α1
B. α1+α2,α2+α3,α1+2α2+α3
C. α1+2α2,2α2+3α3,3α3+α1
D. α1+α2+α3,2α1-3α2+22α3,3α1+5α2-5α3
[单项选择]已知向量组α,β,γ线性无关,则k≠1是向量组α+kβ,β+kγ,α-γ线性无关的()。
A. 充分必要条件
B. 充分条件,但非必要条件
C. 必要条件,但非充分条件
D. 既非充分也非必要条件
[简答题]设a1,a2,a3,a4是思维向量,且线性无关,证明β1=α1+α2,β2=a2+a3,β3=α3+α4,β4=α4+α1线性相关。
[简答题]已知3维列向量组S1:α1,α2线性无关;S2:β1,β2线性无关.
(Ⅰ)证明存在非零向量ξ既可以由α1,α2线性表示,也可由β1,β2线性表示;
(Ⅱ)设α1=(-1,2,3)T,α2=(1,-2,-4)T,β1=(-2,A,7)T,β2=(-1,2,5)T,求(Ⅰ)中的ξ.
[简答题]已知3维列向量组S1:α1,α2线性无关;S2:β1,β2线性无关.
证明存在非零向量ξ既可以由α1,α2线性表示,也可由β1,β2线性表示;