[简答题]设A为m阶正定矩阵，B是m×n矩阵，证明矩阵B^TAB正定的充分必要条件是秩r(B)=n．

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[简答题]设A为m阶实对称矩阵且正定，B为m×n阶实矩阵，B^T为B的转置矩阵，试证B^TAB为正定矩阵的充分必要条件是矩阵B的秩r(B)=n．

[简答题]设A是n阶实对称矩阵，证明秩r(A)=n的充分必要条件是存在n阶矩阵B，使AB+B^TA是正定矩阵．

[简答题]已知A与B均为n阶正定矩阵，证明AB是正定矩阵的充分必要条件是AB=BA．

[单项选择]设矩阵A_m×n的秩r(A)=m＜n，E_m为m阶单位矩阵，则下列结论中正确的是
A. A的任意m个列向量必线性无关．
B. A的任意m阶子式不等于零．
C. 若矩阵B满足BA=O，则B=
D. A通过初等行变换，必可以化为(E_m,O)的形式．

[简答题]设A为正定矩阵，证明A^*也为正定矩阵．

[简答题]设A，B都是n阶实对称矩阵，其中A是正定矩阵，证明存在实数t使得tA+B是正定矩阵．

[简答题]设n阶实对称矩阵A满足A²=E，且秩r(A+E)=k＜n。
证明B=E+A+A²+A³+A⁴是正定矩阵，并求行列式|B|的值。

[简答题]设A，B都是n阶正定矩阵，P为n×m矩阵，证明：P^T(A+B)P正定的充分必要条件是r(P)=m．

[单项选择]若矩阵A中有一个D≠0阶子式，且A中有一个含D的r+1阶子式等于零，则关于矩阵A的秩r(A)正确的是（）
A. r(A)≥r
B. r(A)＜r
C. r(A)=r
D. r(A)=r+1

[填空题]设矩阵A的秩为t，则秩r(A^TA)=______．

[简答题]设A是n阶实矩阵，则A为正定矩阵的充要条件是存在n阶正定矩阵B，使得A=B²．

[单项选择]下列矩阵中，正定矩阵是

[单项选择]已知A，B均为n阶正定矩阵，则下列结论不正确的是
(A) A+B，A-B，AB是正定矩阵．
(B) AB的特征值全大于零．
(C) 若AB=BA，则AB是正定矩阵．
(D) 对任意正常数k与l，kA+lB为正定矩阵．

[单项选择]三阶矩阵A的秩r（A）=1，η₁=（-130）^T，η₂=（2-11）^T，η₃=（50k）^T是方程组AX=0的三个解向量，则常数k=（）。
A. -2
B. -1
C. 2
D. 3

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