[简答题]设A，B都是n阶实对称矩阵，其中A是正定矩阵，证明存在实数t使得tA+B是正定矩阵．

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[简答题]设A为m阶实对称矩阵且正定，B为m×n阶实矩阵，B^T为B的转置矩阵，试证B^TAB为正定矩阵的充分必要条件是矩阵B的秩r(B)=n．

[简答题]设A是n阶实对称矩阵，证明秩r(A)=n的充分必要条件是存在n阶矩阵B，使AB+B^TA是正定矩阵．

[简答题]设A是n阶实对称矩阵，如果A²=O，证明A=O．并举例说明，如果A不是实对称矩阵，上述命题不正确．

[简答题]设n阶实对称矩阵A满足A²=E，且秩r(A+E)=k＜n。
证明B=E+A+A²+A³+A⁴是正定矩阵，并求行列式|B|的值。

[简答题]证明：若A为n阶实对称矩阵，且A²=0，则A=0．

[单项选择]设A为n阶实对称矩阵，B为n阶可逆矩阵，Q为n阶正交矩阵，则下列矩阵与A有相同特征值的是
(A) B^-1Q^TAQB． (B) (B^-1)^TQ^TAQB^-1．
(C) B^TQ^TAQB． (D) BQ^TAQ(B^T)^-1．

[单项选择]设A，B均n阶实对称矩阵，若A与B合同，则
A. A与B有相同的特征值．
B. A与B有相同的秩．
C. A与B有相同的特征向量．
D. A与B有相同的行列式．

[单项选择]设A是n阶实对称矩阵，P是n阶可逆矩阵，α是A的属于特征值λ的特征向量，那么矩阵(P^-1AP)^T属于特征值λ的特征向量是（）。
A. α
B. P^Tα
C. P^-1α
D. Pα

[填空题]已知A是四阶实对称矩阵，秩r(A)=3，矩阵A满足A⁴-A³-A²-2A=O则与A相似的对角矩阵是______．

[单项选择]设A是三阶实对称矩阵，λ₁，λ₂，λ₃是3个非零特征值，且满足a≥λ₁≥λ₂≥λ₃≥b．若kA+E为正定矩阵，则参数k应满足（）。
A. k＞-1/a
B. k＞a
C. k＞b
D. k＜-1/b

[简答题]

设3阶实对称矩阵A的特征值λ₁=1，λ₂=2，λ₃=-2，α₁=（1，-1，1）^T是A的属于λ₁的一个特征向量，记B=A⁵-4A³+E，其中E为3阶单位矩阵。
（Ⅰ）验证α₁是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征量与特征向量；
（Ⅱ）求矩阵B。

[简答题]设A是秩为r的n阶实对称矩阵，满足
A⁴-3A³+3A²-2A=0．
那么，矩阵A的n个特征值是______．

[多项选择]设A是三阶实对称矩阵，满足A²-A-2E=0，已知Aα+α=0，其中α=(-1,1,1)^T，且行列式|A|=-4． (Ⅰ)求矩阵A的特征值； (Ⅱ)求矩阵

[简答题]设n阶实对称矩阵A满足A²=E，且秩r(A+E)=k＜n。
求二次型x^TAx的规范形；

[简答题]设3阶实对称矩阵A的特征值是1，2，3；矩阵A的属于特征值1，2的特征向量分别是α₁=(-1，-1，1)^T，α₂=(1，-2，-1)^T．
(1) 求A的属于特征值3的特征向量；
(2) 求矩阵A．

[简答题]设3阶实对称矩阵A的特征值是1，2，-1，矩阵A的属于特征值1与2的特征向量分别是α₁=(2，3，-1)^T与α₂=(1，a，2a)^T，A^*是A的伴随矩阵，求齐次方程组(A^* -2E)x=0的通解．

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