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考研数学二-109
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[单项选择]下列无穷小中阶数最高的是( )
[*]
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[填空题]设A为一个装满水的半球形水池,半径为R,若用水泵将A中水全部抽出,则克服重力做功为______.
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[简答题]一个容器的内表面侧面由曲线[*]绕x轴旋转而成,外表面由曲线x=[*]在点[*]的切线位于点[*]与x轴交点之间的部分绕x轴旋转而成,此容器材质的密度为μ.求此容器自身的质量M及其内表面的面积S.
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[简答题]位于上半平面的上凹曲线y=y(x)过点(0,2),在该点处的切线水平,曲线上任一点(x,y)处的曲率与[*]及1+y’2。之积成反比,比例系数为[*],求y=y(x).
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[填空题]设A为三阶矩阵,A的三个特征值为λ1=-2,λ2=1,λ3=2,A*是A的伴随矩阵,则A11+A22+A33=______.
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[单项选择]设f(x)=x3-3x+k只有一个零点,则k的范围是( )
A. k<2
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[单项选择]下列命题正确的是( )
A. 若f(x)在x0处可导,则一定存在δ>0,在
B. 若f(x)在x0处连续,则一定存在δ>0,在
C. 若[*]存在,则f(x)在x0处可导
D. 若f(x)在x0的去心邻域内可导,f(x)在x0处连续,且[*]存在,则f(x)在x0处可导,且[*]
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[单项选择]设A是n阶矩阵,则A可相似对角化的充分必要条件是( )
A. A是可逆矩阵
B. A的特征值都是单值
C. A是实对称矩阵
D. A有n个线性无关的特征向量
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[单项选择]设δ>0,f(x)在(-δ,δ)内恒有f"(x)>0,且|f(x)|≤x2,记[*]则有( )
A. I=0
B. I>0
C. I<0
D. 不能确定
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[简答题]设f(x)在R上可微且f’(0)=0,又[*]
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[简答题]证明:当X<1且z≠0时,[*]
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[填空题]xy"-y’=x2的通解为______.
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[填空题]设f(x,y)为连续函数,改变为极坐标的累次积分为[*]=______.
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[单项选择]设[*]B等于( )
[*]
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[单项选择]设f有一阶连续的偏导数,且f(x+y,x-y)=4(x2-xy-y2),则xf'x(z,y)+yf'y(x,y)为( )
A. 2x2-8xy-2y2
B. -2x2+8xy-2y2
C. 2x2-8xy+2y2
D. -2x2+8xy+2y2
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[简答题]设A,B都是n阶正定矩阵,P为n×m矩阵,证明:PT(A+B)P正定的充分必要条件是r(P)=m.
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[填空题]设f(x)在(-∞,+∞)内可导,且[*]
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则a=______.
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[单项选择]下列说法中正确的是( )
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[简答题]计算[*]
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[填空题]设[*],且F(u,v)连续可偏导,则[*]=______.
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[简答题]设f"(x)∈C[a,b],证明:存在ξ∈(a,b),使得
[*]
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[简答题]设A是n阶矩阵,证明:
(Ⅰ) r(A)=1的充分必要条件是存在行阶非零列向量α,β,使得A=αβT;
(Ⅱ) r(A)=1且tr(A)≠0,证明A可相似对角化.
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[简答题]设f(x)在(0,+∞)内一阶连续可微,且对[*]满足[*]xf(x)+x3,又f(1)=0,求f(x).