[填空题]设A是n阶实对称矩阵，A²]=A，r(A)=3，则A的相似对角形A为______．

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[简答题]证明：若A为n阶实对称矩阵，且A²=0，则A=0．

[简答题]设A是秩为r的n阶实对称矩阵，满足
A⁴-3A³+3A²-2A=0．
那么，矩阵A的n个特征值是______．

[单项选择]设A为n阶实对称矩阵，B为n阶可逆矩阵，Q为n阶正交矩阵，则下列矩阵与A有相同特征值的是
(A) B^-1Q^TAQB． (B) (B^-1)^TQ^TAQB^-1．
(C) B^TQ^TAQB． (D) BQ^TAQ(B^T)^-1．

[简答题]设A是n阶实对称矩阵，证明秩r(A)=n的充分必要条件是存在n阶矩阵B，使AB+B^TA是正定矩阵．

[简答题]设n阶实对称矩阵A满足A²=E，且秩r(A+E)=k＜n．
(Ⅰ) 求二次型x^TAx的规范形；
(Ⅱ) 证明B=E+A+A²+A³+A⁴是正定矩阵，并求行列式|B|的值．

[填空题]设A是n阶实对称矩阵，满足A⁴+2A³+A²+2A=0，若秩r(A)=r，则行列式|A+3E|=______．

[简答题]设A是n阶实对称矩阵，满足A⁴+2A³+A²+2A=0，若秩r(a)=r，则行列式|A+3E|=______．

[单项选择]设A是n阶实对称矩阵，P是n阶可逆矩阵，已知n维列向量α是A的属于特征值λ的特征向量，则矩阵(P ^一1 AP) ^T 属于特征值λ的特征向量是( )
A. P ^一1 α。
B. P ^T α。
C. Pα。
D. (P ^一1 ) ^T α。

[简答题]设n阶实对称矩阵A的秩为r，且满足A ² =A(A称为幂等阵)．求：(1)二次型X ^T AX的标准形；(2)｜E+A+A ² +…+A ⁿ ｜的值．

[填空题]设A为n阶实对称矩阵，B，C为n阶矩阵，已知(A-E)B=0，(A+2E)C=0，r(B) +r(C) =n，且r(B) =r，则二次型x^TAx的标准形为______．

[简答题]设n阶实对称矩阵A的秩为r，且满足A²=A，求：
(1)二次型x^TAx的标准形；
(2)行列式|E+A+A²+…+Aⁿ|的值，其中E为单位矩阵。

[简答题]设A为m阶实对称矩阵且正定，B为m×n阶实矩阵，B^T为B的转置矩阵，试证B^TAB为正定矩阵的充分必要条件是矩阵B的秩r(B)=n．

[单项选择]设A是n阶实对称矩阵，P是n阶可逆矩阵，α是A的属于特征值λ的特征向量，那么矩阵(P^-1AP)^T属于特征值λ的特征向量是（）。
A. α
B. P^Tα
C. P^-1α
D. Pα

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