[单项选择]设A是n阶实对称矩阵，P是n阶可逆矩阵，α是A的属于特征值λ的特征向量，那么矩阵(P^-1AP)^T属于特征值λ的特征向量是（）。
A. α
B. P^Tα
C. P^-1α
D. Pα

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[填空题]设λ₁，λ₂是n阶实对称矩阵A的两个不同的特征值，α是A的对应于特征值λ₁的一个单位特征向量，则矩阵B=A-λ₁αα^T的两个特征值为______．

[简答题]设n阶实对称阵A，B的特征值全大于0，A的特征向量都是B的特征向量，证明AB正定．

[单项选择]已知A是n阶可逆矩阵，那么与A有相同特征值的矩阵是
A. A^T．
B. A²．
C. A^-1．
D. A-Ｅ．

[简答题]设6，3，3为实对称矩阵A的特征值，属于6的特征向量为α₁=(1，1，k)^-1，属于3的一个特征向量为α₂=(-1，0，1)^T．
(Ⅰ)求k及属于3的另一特征向量；
(Ⅱ)求矩阵A．

[单项选择]设A为n阶实对称矩阵，B为n阶可逆矩阵，Q为n阶正交矩阵，则下列矩阵与A有相同特征值的是
(A) B^-1Q^TAQB． (B) (B^-1)^TQ^TAQB^-1．
(C) B^TQ^TAQB． (D) BQ^TAQ(B^T)^-1．

[简答题]设3阶实对称矩阵A的特征值λ₁=8，λ₂=λ₃=2，矩阵A属于特征值λ₁=8的特征向量为α₁=(1，k，1)^T，属于特征值λ₂=λ₃=2的一个特征向量为α₂=(-1，1，0)^T．
求参数k及λ₂=λ₃=2的另一个特征向量；

[单项选择]设A为n阶实对称矩阵，则下列结论正确的是
(A) A的n个特征向量两两正交．
(B) A的n个特征向量组成单位正交向量组．
(C) A的k重特征值λ₀有r(λ₀E-A)=n-k．
(D) A的k重特征值λ₀有r(λ₀E-A)=k．

[简答题]设3阶实对称矩阵A的特征值是1，2，3；矩阵A的属于特征值1，2的特征向量分别是α₁=(-1，-1，1)^T，α₂=(1，-2，-1)^T．
(1) 求A的属于特征值3的特征向量；
(2) 求矩阵A．

[简答题]设3阶实对称矩阵A的特征值是1，2，-1，矩阵A的属于特征值1与2的特征向量分别是α₁=(2，3，-1)^T与α₂=(1，a，2a)^T，A^*是A的伴随矩阵，求齐次方程组(A^* -2E)x=0的通解．

[单项选择]设λ是n阶可逆矩阵A的一个特征值，则伴随矩阵A*的一个特征值是( )。
A. ( λ^-1
B. ( λ^-1
C. ( λ
D. ( λ

[单项选择]设A为n阶矩阵，则下列命题
①设A为n阶实可逆矩阵，如果A与-A合同，则n必为偶数
②若A与单位矩阵合同，则|A|＞0
⑧若|A|＞0，则A与单位矩阵合同
④若A可逆，则A^-1与A^T合同
中正确的个数是
(A) 3个． (B) 2个． (C) 1个． (D) 0个．

[简答题]设A，P为n阶矩阵，P可逆，且AP=PA，证明：
若A有n个不同的特征值，α是A的特征向量，则α也是P的特征向量。

[简答题]设A为三阶实对称矩阵，且其特征值为λ₁=λ₂=1，λ₃=0，假设ξ₁，ξ₂是矩阵A的不同特征向量，且A(ξ₁+ξ₂)=ξ₂．
(Ⅰ) 证明：ξ₁，ξ₂正交；
(Ⅱ) 求方程组AX=ξ₂的通解．

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