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[单项选择]设A是n阶实对称矩阵,P是n阶可逆矩阵,已知n维列向量α是A的属于特征值λ的特征向量,则矩阵(P
一1
AP)
T
属于特征值λ的特征向量是( )
A. P
一1
α。
B. P
T
α。
C. Pα。
D. (P
一1
)
T
α。
[单项选择]设A是n阶实对称矩阵,P是n阶可逆矩阵,α是A的属于特征值λ的特征向量,那么矩阵(P-1AP)T属于特征值λ的特征向量是()。
A. α
B. PTα
C. P-1α
D. Pα
[简答题]设A,B为两个n阶矩阵,且A的n个特征值两两互异.若A的特征向量恒为B的特征向量,则AB=BA。
[简答题]设A是n阶矩阵,λ是A的特征值,其对应的特征向量为X,证明:λ
2
是A
2
的特征值,X为特征向量.若A
2
有特征值λ,其对应的特征向量为X,X是否一定为A的特征向量说明理由.
[简答题]设A是n阶矩阵,A=E+αβT,其中α,β都是n维列向量,且αTβ=3,求A的特征值,特征向量.
[填空题]设λ1,λ2是n阶实对称矩阵A的两个不同的特征值,α是A的对应于特征值λ1的一个单位特征向量,则矩阵B=A-λ1ααT的两个特征值为______.
[简答题]设A,P为n阶矩阵,P可逆,且AP=PA,证明:
若A有n个不同的特征值,α是A的特征向量,则α也是P的特征向量。
[单项选择]设λ1,λ2是n阶矩阵A的特征值,α2,α2分别是A的对应于λ1,λ2的特征向量,则
(A) 当λ1=λ2时,α1与α2必成比例.
(B) 当λ1=λ2时,α1与α2必不成比例.
(C) 当λ1≠λ2时,α1与α2必成比例.
(D) 当λ1≠λ2时,α1与α2必不成比例.
[单项选择]设A是n阶矩阵,λ1,λ2是A的特征值,ζ1,ζ2是A的分别对应于λ1,λ2的特征向量,则()。
A. λ1=λ2时,ζ1,ζ2一定成比例
B. λ1=λ2时,ζ1,ζ2一定不成比例
C. λ1≠λ2时,ζ1,ζ2一定成比例
D. λ1≠λ2时,ζ1,ζ2一定不成比例
[单项选择]设x1、x2是三阶矩阵A的属于特征值λ1的两个线性无关的特征向量,x3是A的属于特征值λ2的特征向量,且λ1≠λ2,则()。
A. k1x1+k2x2是A的特征向量
B. k1x1+k2x3是A的特征向量
C. x1+x2是2A-E的特征向量
D. x2+x3是2A-E的特征向量
[简答题]设n阶实对称阵A,B的特征值全大于0,A的特征向量都是B的特征向量,证明AB正定.
[简答题]设6,3,3为实对称矩阵A的特征值,属于6的特征向量为α1=(1,1,k)-1,属于3的一个特征向量为α2=(-1,0,1)T.
(Ⅰ)求k及属于3的另一特征向量;
(Ⅱ)求矩阵A.
[简答题]设3阶实对称矩阵A的特征值是1,2,3;矩阵A的属于特征值1,2的特征向量分别是α1=(-1,-1,1)T,α2=(1,-2,-1)T.
(1) 求A的属于特征值3的特征向量;
(2) 求矩阵A.
[简答题]设3阶实对称矩阵A的特征值是1,2,-1,矩阵A的属于特征值1与2的特征向量分别是α1=(2,3,-1)T与α2=(1,a,2a)T,A*是A的伴随矩阵,求齐次方程组(A*-2E)x=0的通解.
[简答题]设3阶实对称矩阵A的特征值λ1=8,λ2=λ3=2,矩阵A属于特征值λ1=8的特征向量为α1=(1,k,1)T,属于特征值λ2=λ3=2的一个特征向量为α2=(-1,1,0)T.
求参数k及λ2=λ3=2的另一个特征向量;
[简答题]
设A为3阶矩阵,α1,α2为A的分别属于特征值-1、1的特征向量,向量α3满足Aα3=α2+α3,
证明α
1,α
2,α
3线性无关。
[单项选择]设n阶矩阵A与B相似,E为n阶单位矩阵,则
A. λE一A=λE一B
B. A与B有相同的特征值和特征向量
C. A和B都相似于一个对角矩阵
D. 对任意常数t,tE—A与tE一B相似