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[单项选择]设A是n阶实对称矩阵,P是n阶可逆矩阵,已知n维列向量α是A的属于特征值λ的特征向量,则矩阵(P
一1
AP)
T
属于特征值λ的特征向量是( )
A. P
一1
α。
B. P
T
α。
C. Pα。
D. (P
一1
)
T
α。
[单项选择]设A是n阶实对称矩阵,P是n阶可逆矩阵,α是A的属于特征值λ的特征向量,那么矩阵(P-1AP)T属于特征值λ的特征向量是()。
A. α
B. PTα
C. P-1α
D. Pα
[简答题]设3阶实对称矩阵A的特征值是1,2,3;矩阵A的属于特征值1,2的特征向量分别是α1=(-1,-1,1)T,α2=(1,-2,-1)T.
(1) 求A的属于特征值3的特征向量;
(2) 求矩阵A.
[简答题]设3阶实对称矩阵A的特征值是1,2,-1,矩阵A的属于特征值1与2的特征向量分别是α1=(2,3,-1)T与α2=(1,a,2a)T,A*是A的伴随矩阵,求齐次方程组(A*-2E)x=0的通解.
[简答题]设3阶实对称矩阵A的特征值λ1=8,λ2=λ3=2,矩阵A属于特征值λ1=8的特征向量为α1=(1,k,1)T,属于特征值λ2=λ3=2的一个特征向量为α2=(-1,1,0)T.
求参数k及λ2=λ3=2的另一个特征向量;
[填空题]设λ1,λ2是n阶实对称矩阵A的两个不同的特征值,α是A的对应于特征值λ1的一个单位特征向量,则矩阵B=A-λ1ααT的两个特征值为______.
[简答题]设A为三阶实对称矩阵,且其特征值为λ1=λ2=1,λ3=0,假设ξ1,ξ2是矩阵A的不同特征向量,且A(ξ1+ξ2)=ξ2.
(Ⅰ) 证明:ξ1,ξ2正交;
(Ⅱ) 求方程组AX=ξ2的通解.
[简答题]设三阶实对称矩阵A有特征值λ1=1,λ2=2,λ2=3.A的对应于λ1=1,λ2=2的特征向量分别是ξ1=[-1,-1,1]T,ξ2=[1, 2,-1]T,
求A的属于λ3=3的特征向量.
[简答题]设A为m阶实对称矩阵且正定,B为m×n阶实矩阵,BT为B的转置矩阵,试证BTAB为正定矩阵的充分必要条件是矩阵B的秩r(B)=n.
[简答题]设n阶实对称阵A,B的特征值全大于0,A的特征向量都是B的特征向量,证明AB正定.
[单项选择]设A为n阶实对称矩阵,B为n阶可逆矩阵,Q为n阶正交矩阵,则下列矩阵与A有相同特征值的是
(A) B-1QTAQB. (B) (B-1)TQTAQB-1.
(C) BTQTAQB. (D) BQTAQ(BT)-1.
[单项选择]n阶实对称矩阵A正定的充分必要条件是( ).
A. A无负特征值
B. A是满秩矩阵
C. A的每个特征值都是单值
D. A
*
是正定矩阵
[单项选择]设A,B均n阶实对称矩阵,若A与B合同,则
A. A与B有相同的特征值.
B. A与B有相同的秩.
C. A与B有相同的特征向量.
D. A与B有相同的行列式.
[简答题]
设A为m阶实对称矩阵,B为m×n实矩阵,BT为B的转置矩阵,试证:BTAB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r(B) =n.
[简答题]设A是n阶实对称矩阵,证明秩r(A)=n的充分必要条件是存在n阶矩阵B,使AB+BTA是正定矩阵.