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[简答题]设A是4阶非零矩阵,α1,α2,α3,α4是非齐次线性方程组Ax=b的不同的解
(Ⅰ)如果α1,α2,α3线性相关,证明α1-α2,α1-α3也线性相关;
(Ⅱ)如果α1,α2,α3,α4线性无关,证明α1-α2,α1-α3,α1-α4是齐次方程组Ax=0的基础解系.
[多项选择]设A是4阶非零矩阵,a1,a2,a3,a4是非齐次线性方程组Ax=b的不同的解.
(Ⅰ)如果a1,a2,a3线性相关,证明a1-a2,a1-a3也线性相关;
(Ⅱ)如果a1,a2,a3,a4线性无关,证明a1-a2,a1-a3,a1-a4是齐次方程组Ax=0的基础解系.
[简答题]设A是4阶非零矩阵,α1,α2,α3,α4是非齐次线性方程组Ax=b的不同的解.
如果α1,α2,α3线性相关,证明α1-α2,α1-α3也线性相关;
[填空题]谁A为n阶矩阵,B为n阶非零矩阵,若B的每一个列向量都是齐次线性方程组Ax=0的解,则丨A丨=()
[填空题]设A为n阶矩阵,B为n阶非零矩阵,若B的每一个列向量都是齐次线性方程组Ax=0的解,则|A|=()。
[单项选择]设x1、x2是非齐次线性方程组Ax=B的两个不同解,η1、η2是其导出组Ax=0的基础解系,c1、c2为任意常数,则方程组Ax=B的通解是()。
A. (x1-x2)/2+c1η1+c2η2
B. (x1+x2)/2+c1η1+c2(η1+η2)
C. x1-x2+c1η1+c2(η1+η2)
D. (x1-x2)/2+c1x1+c2(η1+η2)
[单项选择]设A是m×n矩阵,Ax=0是非齐次线性方程组Ax=b所对应的齐次线性方程组,则下列结论正确的是()。
A. 若Ax=0仅有零解,则Ax=b有惟一解
B. 若Ax=0有非零解,则Ax=b有无穷多个解
C. 若Ax=b有无穷多个解,则Ax=0仅有零解
D. 若Ax=b有无穷多个解,则Ax=0有非零解
[填空题]设α1,α2,α3是非齐次线性方程绀Ax=b的解,α=α1+aα2-3α3,则α是Ax=b的解的充分必要条件为a=______,α是齐次线性方程组Ax=0的解的充分必要条件为a=______.
[简答题]已知A为三阶矩阵,α1,α2为Ax=0的基础解系,又AB=2B,B为三阶非零矩阵
(Ⅰ)计算行列式|A+E|;
(Ⅱ)求γ(A-2E);
(Ⅲ)求矩阵2A+3E的特征值.
[简答题]已知A是n阶非零矩阵,且A中各行元素对应成比例,又α1,α2,…,αt是Ax=0的基础解系,β不是Ax=0的解.证明任一n维向量均可由α1,α2,…,αt,β线性表出.
[简答题]已知α1,α2,α3是非齐次线性方程组3个不同的解,证明:
(Ⅰ)α1,α2,α3中任何两个解向量均线性无关;
(Ⅱ)如果α1,α2,α3线性相关,则α1-α2,α1-α3线性相关.
[简答题]已知α1,α2,α3是非齐次线性方程组3个不同的解,证明:
(Ⅰ) α1,α2,α3中任何两个解向量均线性无关;
(Ⅱ) 如果α1,α2,α3线性相关,则α1-α2,α1-α3线性相关.
[单项选择]设A为n阶非零矩阵,E为n阶单位矩阵.若A3=O,则______.
A. E-A不可逆,E+A也不可逆
B. E-A不可逆,E+A可逆
C. E-A可逆,E+A也可逆
D. E-A可逆,E+A不可逆
[简答题]设A是n阶矩阵,证明:
r(A)=1的充分必要条件是存在n阶非零列向量α,β,使得A=αβT;
[简答题]设A是n阶矩阵,证明:
(Ⅰ) r(A)=1的充分必要条件是存在行阶非零列向量α,β,使得A=αβT;
(Ⅱ) r(A)=1且tr(A)≠0,证明A可相似对角化.