[简答题]已知A是3阶矩阵，α_i(i=1，2，3)是3维非零列向量，若Aα_i=i α_i(i=1，2，3)，令α=α₁+α₂+α₃
证明：α，Aα，A²α线性无关；

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[简答题]已知A是3阶矩阵，α_i(i=1，2，3)是3维非零列向量，若Aα_i=iα_i(i=1，2，3)，令
α=α₁+α₂+α₃．
(Ⅰ) 证明：α，Aα，A²α线性无关；
(Ⅱ) 设P=(α，Aα，A²α)，求P^-1AP．

[简答题]若任一n维非零列向量都是n阶矩阵A的特征向量，证明A是数量矩阵(即A=kE，E是n阶单位矩阵)．

[简答题]设A是n阶矩阵，证明：
r(A)=1的充分必要条件是存在n阶非零列向量α，β，使得A=αβ^T；

[简答题]设A是n阶矩阵，证明：
(Ⅰ) r(A)=1的充分必要条件是存在行阶非零列向量α，β，使得A=αβ^T；
(Ⅱ) r(A)=1且tr(A)≠0，证明A可相似对角化．

[简答题]设A是n阶矩阵，证明：
1.r(A)=1的充分必要条件是存在n阶非零列向量α，β，使得A=αβ^T；

[单项选择]已知3维列向量α，β满足α^Tβ=3，设3阶矩阵A=βα^T，则( )。
A. β是A的属于特征值0的特征向量
B. α是A的属于特征值0的特征向量
C. β是A的属于特征值3的特征向量
D. α是A的属于特征值3的特征向量

[简答题]已知3阶矩阵A有三个互相正交的特征向量，证明A是对称矩阵．

[简答题]已知三阶矩阵A与三维向量x，使得向量组x，Ax，A²x线性无关，且满足A³x=3Ax-2A²x：
(Ⅰ)记P=(x，Ax，A²x)求三阶矩阵B，使得A=PBP^-1；
(Ⅱ)计算行列式|A+E|。

[简答题]设A、B为两个n阶矩阵，已知：(1)A有n个互异的特征值．(2)A的特征向量也是B的特征向量．
求证：AB=BA．

[简答题]已知3阶矩阵A与3维列向量α，若α，Aα，A²α线性无关，且A³α=3Aα-2A²α，试求矩阵A的特征值与特征向量．

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