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[单项选择]已知4维列向量α1,α2,α3线性无关,若βi(i=1,2,3,4)非零且与α1,α2,α3均正交,她秩r(β1,β2,β3,β4)=
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
[简答题]已知二维非零向量X不是二阶方阵A的特征向量.
证明X,AX线性无关
[简答题]已知2维非零向量α不是2阶方阵A的特征向量.
证明:α,Aα线性无关;
[简答题]已知3维列向量组S1:α1,α2线性无关;S2:β1,β2线性无关.
证明存在非零向量ξ既可以由α1,α2线性表示,也可由β1,β2线性表示;
[单项选择]已知向量组α1,α2,α3线性无关,则下列向量组中线性无关的是
(A) α1,3α3,α1-2α2. (B) α1+α2,α2-α3,α3-α1-2α2.
(C) α1,α3+α1,α3-α1. (D) α2-α3,α2+α3,α2.
[单项选择]已知向量α,β,γ线性无关,则k≠1是α+kβ,β+kγ,α+γ线性无关的
A. 充分不必要条件.
B. 必要不充分条件。
C. 充分必要条件.
D. 无关条件.
[单项选择]已知向量组α,β,γ线性无关,则k≠1是向量组α+kβ,β+kγ,α-γ线性无关的()。
A. 充分必要条件
B. 充分条件,但非必要条件
C. 必要条件,但非充分条件
D. 既非充分也非必要条件
[简答题]已知2维非零向量α不是2阶方阵A的特征向量.
(Ⅰ) 证明:α,Aα线性无关;
(Ⅱ) 若α,A满足A2α+Aα-6α=0,求A的全部特征值,并由此判定A能否与对角矩阵相似.
若能,请写出一个这样的对角矩阵.
[简答题]已知n维向量组α1,α2,…,αn-1线性无关,非零向量β与αi(i=1,2,…,n-1)正交,证明:i,β线性无关.
[简答题]设n阶矩阵A=(α1,α2,…,αn)的前n-1个列向量线性相关,后n-1个列向量线性无关,且α1+2α2+…+(n-1)αn-1=0,b=α1+α2+…+αn。
证明方程组AX=b有无穷多个解;
[简答题]设n阶矩阵A=(α1,α2,αn)的前n-1个列向量线性相关,后n-1个列向量线性无关,且α1+α2+…+(n-1)αn-1=0,b=α1+α2+…+αn。
(Ⅰ)证明方程组AX=b有无穷多个解。
(Ⅱ)求方程组AX=b的通解。
[简答题]已知n维向量α1,α2,α3线性无关,且向量β可由α1,α2,α3中的任何两个向量线性表出,证明β=0.
[单项选择]设α1,α2,α3,α4是n(n>3)维列向量,已知α1,α2,α3线性无关,非零向量α4与α1,α2,α3都正交,则下列结论
①α1,α2,α3,α4线性相关 ②α1,α2,α3,α4线性无关
③α4可由α1,α2,α3线性表出 ④α4不可由α1,α2,α3线性表出
中正确的是
(A) ①、③. (B) ①、④. (C) ②、③. (D) ②、④.
[单项选择]已知三阶矩阵A与三维非零列向量α,若向量组α,Aα,A
2
α线性无关,而A
3
α=3Aα一2A
2
α,那么矩阵A属于特征值λ=一3的特征向量是( )
A. α。
B. Aα+2α。
C. A
2
α一Aα。
D. A
2
α+2Aα一3α。
[简答题]设α1,α2,β1,β2均是三维列向量,且α1,α2线性无关,β1,β2线性无关,证明存在非零向量ξ,使得ξ既可由α1,α2线性表出,又可由β1,β2线性表出;
[简答题]设向量组α
1
,α
2
,…,α
n一1
为n维线性无关的列向量组,且与非零向量β
1
,β
2
正交.证明:β
1
,β
2
线性相关.
[单项选择]已知三阶矩阵A与三维非零列向量α,若向量组α,Aα,A2α线性无关,而A3α=3Aα-2A2α,那么矩阵A属于特征值λ=-3的特征向量是
A. α.
B. Aα+2α.
C. A2α-Aα.
D. A2α+2Aα-3α.
[简答题]设3维向量组α1,α2线性无关,β1,β2线性无关.
1.证明:存在非零3维向量ξ,ξ可由α1,α2线性表出,也可由β1,β2线性表出.