[简答题]设A为三阶方阵，α为三维列向量，已知向量组α，Aα，A²α线性无关，且A³α=3Aα-2A²α.
证明：(Ⅰ)矩阵B=(α，Aα，A⁴α)可逆；
(Ⅱ)B^TB是正定矩阵.

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[简答题]设A为三阶方阵，a为三维列向量，已知向量组α，Aα，A²α线性无关，且A³α=3Aα-2A²α．
证明：(Ⅰ) 矩阵B=(α，Aα，A⁴α)可逆；
(Ⅱ) B^TB是正定矩阵．

[简答题]设A为三阶方阵，α为三维列向量，已知向量组α，Aα，A2α线性无关，且A3α=3Aα-2A2α．
证明：(Ⅰ) 矩阵B=(α，Aα，A4α)可逆；
(Ⅱ) B^TB是正定矩阵．

[简答题]已知二维向量α不是二阶方阵A的特征向量，
(Ⅰ)证明α，Aα线性无关；
(Ⅱ)若A²α+Aα-6α=0，求A的全部特征值，并判断A能否与对角矩阵相似。

[简答题]设A为三阶矩阵，α ₁ ,α ₂ ,α ₃ 是线性无关的三维列向量，且满足Aα ₁ =α ₁ +α ₂ +α ₃ ，Aα ₂ =2α ₂ +α ₃ ，Aα ₃ =2α ₂ +3α ₃ 。求矩阵A的特征值；

[填空题]设A为三阶矩阵，E为三阶单位阵，α，β是两个线性无关的三维列向量，且A的行列式|A|=0，Aα=β，Aβ=α，则行列式|A+3E|的值等于
A．0． B．18． C．6． D．24．

[简答题]

设A为三阶矩阵，α₁，α₂，α₃是线性无关的三维列向量，且满足
Aα₁=α₁+α₂+α₃，Aα₂=2α₂+α₃，Aα₃=2α₂+3α₃．
(Ⅰ)求矩阵B，使得A(α₁，α₂，α₃)=(α₁，α₂，α₃)B；
(Ⅱ)求矩阵A的特征值；
(Ⅲ)求可逆矩阵P，使得P^-1AP为对角矩阵．

[简答题]已知二维非零向量X不是二阶方阵A的特征向量．
证明X，AX线性无关

[简答题]设A是各行元素之和均为0的三阶矩阵，α，β是线性无关的三维列向量，并满足Aα=3β，Aβ=3α．
(Ⅰ)证明矩阵A和对角矩阵相似；
(Ⅱ)如α=(0，-1，1)^T，β=(1，0，-1)^T，求矩阵A；
(Ⅲ)用配方法化二次型x^TAx为标准形，并写出所用坐标变换．

[简答题]已知二维向量α不是二阶方阵A的特征向量。
证明α与Aα线性无关；

[单项选择]设向量组α₁，α₂，α₃线性无关，则下列向量组中，线性无关的向量组是（）。
A. α₁+α₂，α₂+α₃，α₃-α₁
B. α₁+α₂，α₂+α₃，α₁+2α₂+α₃
C. α₁+2α₂，α₂+2α₃，α₃+α₁
D. α₁+α₂，2α₂+α₃，α₁+3α₂+α₃

[单项选择]已知3阶矩阵A与3维列向量α，若向量组α，Aα，A²α线性无关且A³α=3Aα-2A²α，则矩阵A属于特征值λ=1的特征向量是______
A. A²α+2Aα-3α
B. A²α+3Aα
C. A²α-Aα
D. α

[单项选择]已知三阶矩阵A与三维非零列向量α，若向量组α，Aα，A²α线性无关，而A³α=3Aα-2A²α，那么矩阵A属于特征值λ=-3的特征向量是
A. α．
B. Aα+2α．
C. A²α-Aα．
D. A²α+2Aα-3α．

[简答题]已知2维非零向量α不是2阶方阵A的特征向量．
证明：α，Aα线性无关；

[简答题]已知三阶矩阵A与三维向量x，使得向量组x，Ax，A²x线性无关，且满足A³x=3Ax-2A²x：
(Ⅰ)记P=(x，Ax，A²x)求三阶矩阵B，使得A=PBP^-1；
(Ⅱ)计算行列式|A+E|。

[单项选择]已知三阶矩阵A与三维非零列向量α，若向量组α，Aα，A ² α线性无关，而A ³ α=3Aα一2A ² α，那么矩阵A属于特征值λ=一3的特征向量是( )
A. α。
B. Aα+2α。
C. A ² α一Aα。
D. A ² α+2Aα一3α。

[简答题]

已知3阶矩阵A与三维向量x，使得向量组x，Ax，A²x线性无关，且满足A³x=3Ax-2A²x.
(1)记P=(x，Ax，A²x)，求3阶矩阵B，使A=PBP^-1；(2)计算行列式|A+E|．

[简答题]已知三阶矩阵A与三维向量x，使得向量组x，Ax，A²x线性无关，且满足A³x=3Ax-2A²x。
计算行列式|A+E|。

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