[简答题]设f(x)是区间[a，b]上单调减少的连续函数，且f(x)＞0在[a，b]上成立．求证：在(a，b)内存在唯一的c，使在区间[a，c]上以y=f(x)为曲边的曲边梯形的面积与在[c，b]上以f(c)为高的矩形面积相等．

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[简答题]设f(x)在闭区间[0，c]上连续，其导数f’(x)在开区间(0，c)内存在且单调减少，f(0)=0．试应用拉格朗日中值定理证明不等式：f(a+b)≤f(a)+f(b)，其中常数a，b满足条件0≤a≤b≤a+b≤C．

[简答题]设f"(x)在[0，1]上连续，且f(0)=f(1)=0．
求证：
[*]；

[单项选择]设F(x)是f(x)在区间(0，1)内的一个原函数，则F(x)+f(x)在区间(0，1)内______．
A. 可导
B. 连续
C. 存在原函数
D. 是初等函数

[简答题]设f(x)在[0，1]可导，f(0)=0，f’(1)=0，求证：存在ξ∈(0，1)，使得f’(ξ)=f(ξ)．

[简答题]设f(x)在x=0邻域有连续的导数，又f(0)=0，[*]求证：F(x)在x=0有连续导数．

[简答题]设f(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=1，证明：在(a，b)内存在两点ξ，η，使得(e^2a+e^a+b+e^2b)[f(ξ)+f’(ξ)]=3e^3η-ξ．

[简答题]设f(x)在区间[a，b]上可导，f(a)=f(b)=0且f’+(a)·f’-(b)＞0．证明：方程f’(x=0在(a，b)内至少有两个不同的实根．

[简答题]设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=1，f(1)=0．求证：存在ξ∈(0，1)使
[*]

[简答题]设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=2，f(1)=0．求证：存在0＜η＜ζ＜1，使得f’(η)f’(ζ)=4．

[多项选择]设f(x)在区间[a，b]上具有二阶导数，且f(a)=f(b)=0，f’(a)f’(b)＞0．证明：存在ξ∈(a，b)和η∈(a，b)，使f(ξ)=0及f"(η)=0．

[填空题]设f(x)在区间[-π，π]上连续且满足f(x+π)=-f(x)，则f(x)的傅里叶系数a_2n=______．(n=1，2，…)

[单项选择]设F(x)是函数f(x)在区间I上的原函数，则
(A) F(x)必是初等函数且有界． (B) F(x)必是初等函数，但未必有界．
(C) F(x)在I上必连续且有界． (D) F(x)在I上必连续，但未必有界．

[简答题]设f(x)和g(x)在区间(a，b)内可导，并设在(a，b)内f(x)g’(x)-f’(x)≠0，证明在(a，b)内至多存在一点ξ，使得f(ξ)=0。

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