[简答题]设三阶实对称阵A有特征值λ₁＜λ₂＜λ₃，证明二次型f(x₁，x₂，x₃)=X^TAX，对任意的X=[x₁，x₂，x₃]^T，恒有
λ₁X^TX≤X^TAX≤λ₃X^TX．

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[填空题]设A是3阶实对称矩阵，A的每行元素的和为5，则二次型f(x₁，x₂，x₃)=x^TAx在x₀=(1，1，1)^T的值f(x₁，x₂，x₃)=[*]=______．

[简答题]设n阶实对称阵A，B的特征值全大于0，A的特征向量都是B的特征向量，证明AB正定．

[单项选择]二次型f(x₁，x₂，x₃)=(x₁+x₂)²+(2x₁+3x₂+x₃)²-5(x₂+x₂)²的规范形是

[单项选择]正定实二次型的矩阵必是
(A) 实对称矩阵且所有元素为正数． (B) 实对称矩阵且对角线上元素为正数．
(C) 实对称矩阵且各阶顺序主子式为正数． (D) 实反对称矩阵且行列式值为正数．

[填空题]设二次型f(x₁，x₂，x₃)=(a₁x₁+b₁x₂+c₁x₃)(a₂x₁+b₂x₂+c₂x₃)，则二次型的对应矩阵是______．

[简答题]设二次型
f(x₁x₂x₃)=2x₁²+3x₂²+3x²₃+2ax₂x₃(a＞0)
若二次型通过正交变换的标准形为y²₁+2y²₂+5y²₃，求参数a；

[简答题]设二次型
f(x₁x₂x₃)=2x₁²+3x₂²+3x²₃+2ax₂x₃(a＞0)
求将二次型化为标准形y²₁+2y²₂+5y²₃所用正交变换矩阵．

[单项选择]二次型f(x₁，x₂，x₃)=x₁²+4x₂²+4x₃²-4x₁x₂+4x₁x₃-8x₂x₃的规范型是______。
A. f=z₁²+z₂²+z₃²
B. f=z₁²+z₂²-z₃²
C. f=z₁²-z₂²
D. f=z₁²

[填空题]若二次型f(x₁，x₂，x₃)=x²₁+2x³₂+x²₃+2x₁x₂+2tx₂x₃是正定的，则t的可能取值范围是（）。

[简答题]设A为n阶矩阵，λ₁和λ₂是A的两个不同的特征值，x₁．x₂是分别属于λ₁和λ₂的特征向量．试证明：x₁+x₂不是A的特征向量．

[填空题]已知二次型f(x₁，x₂，x₃)=x^TAx=2x₁²+2x₂²+ax₂³+4x₁x₃+2tx₂x₃经正交变换x=Py可化成标准形f=y₁²+2y₂²+7y₃²，则t=______．

[填空题]已知三元二次型
x^TAx=x₁²+ax₂²+x₃²+2x₁x₂+2ax₁x₃+2x₂x₃的秩为2，则其规范形为______．

[简答题]已知二次型f(x₁，x₂，x₃)=(1-a)x²₁十(1-a)x²₂+2x²₃+2(1+a)x₁x₂的秩为2．
(Ⅰ)求a的值；
(Ⅱ)求正交变换x=Qy把f(x₁，x₂，x₃)化为标准形；
(Ⅲ)求方程f(x₁，x₂，x₃)=0的解．

[简答题]已知二次型f(x₁，x₂，x₃)-(1-a)x²₁+(1-a)x²₂+2x²₃+2(1+a)x₁x₂的秩为2．
(Ⅰ)求a的值；
(Ⅱ)求正交变换x=Qy把f(x₁，x₂，x₃)化为标准形；
(Ⅲ)求方程f(x₁，x₂，x₃)=0的解．

[填空题]二次型f(x₁，x₂，x₃)=(x₁+x₂)²+(x₂-x₃)²+(x₃+x₁)²的秩为______．

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