[简答题]设A为三阶实对称矩阵，且其特征值为λ₁=λ₂=1，λ₃=0，假设ξ₁，ξ₂是矩阵A的不同特征向量，且A(ξ₁+ξ₂)=ξ₂．
(Ⅰ) 证明：ξ₁，ξ₂正交；
(Ⅱ) 求方程组AX=ξ₂的通解．

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[简答题]设三阶实对称矩阵A有特征值λ₁=1，λ₂=2，λ₂=3．A的对应于λ₁=1，λ₂=2的特征向量分别是ξ₁=[-1，-1，1]^T，ξ₂=[1， 2，-1]^T，
求A的属于λ₃=3的特征向量．

[填空题]设λ₁，λ₂是n阶实对称矩阵A的两个不同的特征值，α是A的对应于特征值λ₁的一个单位特征向量，则矩阵B=A-λ₁αα^T的两个特征值为______．

[简答题]设3阶实对称矩阵A的特征值是1，2，3；矩阵A的属于特征值1，2的特征向量分别是α₁=(-1，-1，1)^T，α₂=(1，-2，-1)^T．
(1) 求A的属于特征值3的特征向量；
(2) 求矩阵A．

[简答题]设3阶实对称矩阵A的特征值是1，2，-1，矩阵A的属于特征值1与2的特征向量分别是α₁=(2，3，-1)^T与α₂=(1，a，2a)^T，A^*是A的伴随矩阵，求齐次方程组(A^* -2E)x=0的通解．

[单项选择]设A是n阶实对称矩阵，P是n阶可逆矩阵，α是A的属于特征值λ的特征向量，那么矩阵(P^-1AP)^T属于特征值λ的特征向量是（）。
A. α
B. P^Tα
C. P^-1α
D. Pα

[单项选择]设A为n阶实对称矩阵，B为n阶可逆矩阵，Q为n阶正交矩阵，则下列矩阵与A有相同特征值的是
(A) B^-1Q^TAQB． (B) (B^-1)^TQ^TAQB^-1．
(C) B^TQ^TAQB． (D) BQ^TAQ(B^T)^-1．

[简答题]设A是3阶实对称矩阵，已知A的每行元素之和为3，且有二重特征值λ₁=λ₂=1．求A的全部特征值、特征向量，并求Aⁿ．

[简答题]设6，3，3为实对称矩阵A的特征值，属于6的特征向量为α₁=(1，1，k)^-1，属于3的一个特征向量为α₂=(-1，0，1)^T．
(Ⅰ)求k及属于3的另一特征向量；
(Ⅱ)求矩阵A．

[简答题]设A是3阶实对称矩阵，已知A的每行元素之和都是3，且A有二重特征值λ₁=λ₂=1。
求A的全部特征值，特征向量；

[填空题]

设2阶实对称矩阵A的特征值为1，2，它们对应的特征向量分别为α₁=(1，1)^T,α₂=(1，k)^T，则数k=_____________________.

[简答题]已知λ₁=6，λ₂=λ₃=3是实对称矩阵A的三个特征值，且对应于λ₂=λ₃=3的特征向量为α₂=(-1，0，1)^T，α₃=(1，2，1)^T．求A对应于λ¹=6的特征向量及矩阵A．

[填空题]设A是秩为r的n阶实对称矩阵，满足
A⁴-3A³+3A²-2A=0．那么，矩阵A的n个特征值是______．

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