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[单项选择]设A是n阶实对称矩阵,P是n阶可逆矩阵,α是A的属于特征值λ的特征向量,那么矩阵(P-1AP)T属于特征值λ的特征向量是()。
A. α
B. PTα
C. P-1α
D. Pα
[简答题]设3阶实对称矩阵A的特征值是1,2,3;矩阵A的属于特征值1,2的特征向量分别是α1=(-1,-1,1)T,α2=(1,-2,-1)T.
(1) 求A的属于特征值3的特征向量;
(2) 求矩阵A.
[简答题]设3阶实对称矩阵A的特征值是1,2,-1,矩阵A的属于特征值1与2的特征向量分别是α1=(2,3,-1)T与α2=(1,a,2a)T,A*是A的伴随矩阵,求齐次方程组(A* -2E)x=0的通解.
[简答题]设A是3阶实对称矩阵,已知A的每行元素之和为3,且有二重特征值λ1=λ2=1.求A的全部特征值、特征向量,并求An.
[简答题]设A是n阶实对称矩阵,如果A2=O,证明A=O.并举例说明,如果A不是实对称矩阵,上述命题不正确.
[简答题]设A是3阶实对称矩阵,已知A的每行元素之和都是3,且A有二重特征值λ1=λ2=1。
求A的全部特征值,特征向量;
[填空题]
设2阶实对称矩阵A的特征值为1,2,它们对应的特征向量分别为α1=(1,1)T,α2=(1,k)T,则数k=_____________________.
[简答题]
设3阶实对称矩阵A的特征值λ1=1,λ2=2,λ3=-2,α1=(1,-1,1)T是A的属于λ1的一个特征向量,记B=A5-4A3+E,其中E为3阶单位矩阵。
(Ⅰ)验证α1是矩阵B的特征向量,并求B的全部特征量与特征向量;
(Ⅱ)求矩阵B。
[单项选择]设A是三阶实对称矩阵,λ1,λ2,λ3是3个非零特征值,且满足a≥λ1≥λ2≥λ3≥b.若kA+E为正定矩阵,则参数k应满足()。
A. k>-1/a
B. k>a
C. k>b
D. k<-1/b
[简答题]设A为三阶实对称矩阵,且其特征值为λ1=λ2=1,λ3=0,假设ξ1,ξ2是矩阵A的不同特征向量,且A(ξ1+ξ2)=ξ2.
(Ⅰ) 证明:ξ1,ξ2正交;
(Ⅱ) 求方程组AX=ξ2的通解.
[简答题]设A为m阶实对称矩阵且正定,B为m×n阶实矩阵,BT为B的转置矩阵,试证BTAB为正定矩阵的充分必要条件是矩阵B的秩r(B)=n.
[简答题]设3阶实对称矩阵A的特征值为λ1=1,λ2=2,λ3=-2,α1=(1,-1,1)T是A的属于λ1的一个特征向量.B=A5-4A3+E,其中E为3阶单位矩阵.
(Ⅰ)验证α1是矩阵B的特征向量,并求B的全部特征值的特征向量;
(Ⅱ)求矩阵B.
[简答题]设3阶实对称矩阵A的特征值为λ1===1,λ2=2,λ3=-2,α1=(1,-1,1)T是A的属于λ1的一个特征向量.B=A5-4A3+E,其中E为3阶单位矩阵.
求矩阵B.
[填空题]设A是秩为r的n阶实对称矩阵,满足
A4-3A3+3A2-2A=0.那么,矩阵A的n个特征值是______.