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[简答题]设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内二阶可导,且f(a)=f(c)=f(b),其中c是(a,b)内的一点,且在[a,b]内的任何区间,上f(x)不恒等于常数.求证:在(a,b)内至少存在一点f,使f"(ξ)<0.
[简答题]设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内二阶可导,且存在相等的最大值,又f(a)=g(a),f(b)=g(b),证明:
(Ⅰ) 存在η∈(a,b),使得f(η)=g(η);
(Ⅱ) 存在ξ∈(a,b),使得f"(ξ)=g"(ξ).
[简答题]
设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内二阶可导且存在相等的最大值,又f(a)=g(a),f(b)=g(b)。证明:
(Ⅰ)存在η∈(a,b),使得f(η)=g(η);
(Ⅱ)存在ξ∈(a,b),使得f″(ξ)=g″(ξ)。
[简答题]设f(x)在[0,a]上一阶连续可导,f(0)=0,在(0,a)内二阶可导且f"(x)>0.证明:
[简答题]设函数f(x)在[a,b]上一阶可导,在(a,b)内二阶可导,且f(a)=f(b)=0,f’(a)f’(b)>0.求证:
[*]
[简答题]设f’(x)在[a,b]上一阶可导,在(a,b)内二阶可导,f(a)=f(b),f’(a)f’(b)>0,证明:至少存在一点ξ∈(a,b),使f"(ξ)=0.
[简答题]设函数f(x)在[0,3]上连续,在(0,3)内可导,且f(0)+f(1)+f(2)=3,f(3)=1,试证必存在ξ∈(0,3),使f’(ξ)=0.
[简答题]已知函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=0,f(1)=1.
证明:
(Ⅰ)存在ξ∈(0,1),使得f(ξ)=1-ξ;
(Ⅱ)存在两个不同的点η,ζ∈(0,1),使得f’(η)f’(ζ)=1.
[单项选择]设函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f'(x)<0,则( )
A. f(0)<0
B. f(1)>0
C. f(1)>f(0)
D. f(1)<f(0)
[简答题]设函数f(x)在[1,2]上连续,在(1,2)内可导,且f(2)=0,F(x)=(x-1)f(x),证明:至少存在一点ξ∈(1,2),使得F′(ξ)=0。
[简答题]
已知函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=0,f(1)=1.证明:
存在ξ∈(0,1),使得f(ξ)=1-ξ。
[简答题]设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=λ,试证明至少存在一点ξ∈(a,b),使
f’(ξ)+f(ξ)=λ.
[简答题]设函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)f(1)<0.
求证:存在ζ∈(0,1)使得ζf’(ζ)+(4-ζ)2f(ζ)=0.