[简答题]设f（x）在[0，1]上可导，且f’（x）＞f（x），f（0）·f（1）＜0，试证：方程f（x）=0在（0，1）内有且仅有一个实根。

参考答案: 因f(x)在[0，1]上可导，故f(x)在[0，1]上连续，又f(0)·f(1)＜0，于是由零点存在定理知，至少存在一点ξ∈(0，1)，使f(ξ)=0，即ξ∈(0，1)是方程f(x)=0的实根。
(唯一性)令ψ(x)=e^-x(x)，因ψ’(x)e^-x[f’(x)-f(x)]＞0，故ψ(x)在[0，1]上单调增加，即ψ(x)在(0，1)内只有一个零点，于是f(x)在(0，1)内也只有一个零点，即f(x)=0在(0，1)内仅有一个实根。
注：因f(x)在(0，1)内有零点，故θ(x)在(0，1)内也有零点，又ψ(x)单调增加，x∈(0，1)，从而零点唯一，即f(x)仅有一零点。
答案解析: [分析] 利用闭区间上连续函数的性质(零点存在定理)证明根的存在性；再利用函数的单调性证明根的唯一性。