[简答题]设函数f(x)在[0，3]上连续，在(0，3)内可导，且f(0)+f(1)+f(2)=3，f(3)=1，试证必存在ξ∈(0，3)，使f’(ξ)=0．

参考答案:由题设，f(x)在[0，3]上连续，则f(x)在[0，2]上也必然连续，则在[0，2]上f(x)必有最大值M和最小值m，因而m≤f(0)≤M，m≤f(1)≤M，m≤f(2)≤M，从而
[*]
由连续函数的介值定理，知存在一点η∈[0，2]，使
[*]
由已知条件f(0)+f(1)+f(2)=3，可推知f(η)=1，因此
f(η)=f(3)=1，η∈[0，2]．
由罗尔定理，知存在[*]，使f’(ξ)=0．证毕．
答案解析:[考点提示] 介值定理、微分中值定理．