[简答题]设f(x)∈C[a，b]，在(a，b)内二阶可导，且f"(x)≥0，φ(x)是区间[a，b]上的非负连续函数，且∫ _a ^b φ(x)dx=1． 证明：∫ _a ^b f(x)φ(x)dx≥f[∫ _a ^b xφ(x)dx]．

参考答案:正确答案：因为f"(x)≥0，所以有f(x)≥f(x ₀ )+f"(x ₀ )(x—x ₀ )． 取x ₀ =∫ _a ^b xφ(x)dx，因为φ(x)≥0，所以aφ(x)≤xφ(x)≤bφ(x)，又∫ _a ^b φ(x)dx=1，于是有a≤∫ _a ^b xφ(x)dx=x ₀ ≤b．把x ₀ =∫ _a ^b xφ(x)dx代入f(x)≥f(x ₀ )+f"(x ₀ )(x—x ₀ )中，再由φ(x)≥0，得 f(x)φ(x)≥f(x ₀ )φ(x)+f"(x ₀ )[xφ(x)一x ₀ φ(x)]， 上述不等式两边再在区间[a，b]上积分，得∫ _a ^b f(x)φ(x)dx≥f[∫ _a ^b xφ(x)dx]．