[简答题]设f(x)在区间[a，b]上可导，f(a)=f(b)=0且f’+(a)·f’-(b)＞0．证明：方程f’(x=0在(a，b)内至少有两个不同的实根．

参考答案: 方法一：因为f’+(a)·f’-(b)＞0，所以f’+(a)，f’-(b)同号，不妨设f’+(a)＞0，f’-(b)＞0．由f’+(a)＞0，存在x₁∈(a，b)，使得f(x₁)＞f(a)=0；由f’-(b)＞0，存在X₂∈(a，b)，使得f(x₂)＜f(b)=0．由零点定理，存在c∈(x₁，x₂)，使得f(c)=0．
由f(a)=f(c)=f(b)=0及f(x)的可导性，存在ξ∈(a，c)，叩∈(c，b)，使得
f’(ξ)=0，f’(η)=0
方法二：
因为f’+(a)·f’-(b)＞0，所以f’+(a)，f’-(b)同号，不妨设f’+(a)＞0，f’-(b)＞0．
由f’+(a)＞0，存在x₁∈(a，b)：使得f(x₁)＞f(a)=0；由f’-(b)＞0，存在x₂∈(a，b)，使得f(x₂)＜f(b)=0．，再由f(a)=f(b)=0，存在ξ，η∈(a，b)，使得f(ξ)=M，f(η)=m，从而f’(ξ)=0，f’(η)=0．