第31题: [填空题]设α=(1，-1，a)
T
，β=(1，a，2)
T
，A=E+αβ
T
，且λ=3是矩阵A的特征值，则矩阵A属于特征值λ=3的特征向量是______．
参考答案:k(1，-1，1)
T
，k≠0
[解析] 令B=αβ
T
，由于秩r(B)=1，且β
T
α=a+1知矩阵B的特征值为a+1，0，0．那么A=E+B的特征值为a+2，1，1．
因为λ=3是矩阵A的特征值，故a+2=3，知a=1．
那么Bα=(αβ
T
)α=α(β
T
α)=2α
α=(1，-1，1)
T
是矩阵B属于特征值λ=2的特征向量，也就是矩阵A属于特征值λ=3的特征向量．
