[简答题]设f(x)在(-∞，+∞)上有界，且存在二阶导数．试证明：至少存在一点ξ∈(-∞，+∞)使f"(ξ)=0．

参考答案:用反证法，设对一切x∈(-∞，+∞)，f"(x)≠0，则要么对一切x∈(-∞，+∞)，f"(x)＞0，或者对一切x∈(-∞，+∞)，f"(x)＜0．不妨设对一切x∈(-∞，+∞)，f"(x)＞0．有以下两种方法：
方法一 取x₁使f’(x₁)≠0．这种x₁总存在的，因若不存在，则f’(x)≡0，从而与反．证法的前提矛盾，取好x₁之后，将f(x)在x=x₁处按泰勒公式展开至n=1，有[*]．若f’(x₁)＞0，命上式中的x→+∞，若f’(x₁)＜0，命上式中的x→-∞，总有[*]+∞，与f(x)在(-∞，+∞)上有界矛盾．此矛盾证明了反证法的前提有错，故知存在ξ∈(-∞，+∞)使f"(ξ)=0．
方法二 由对一切x∈(-∞，+∞)，f"(x)＞0，故知对一切x，f’(x)严格单调增加．取x₁使f’(x₁)＞0(若不然，取x₁使f’(x₁)＜0)，由拉格朗日中值定理，当x＞x₁时有
f(x)=f(x₁)+f’(η)(c-x₁)＞f(x₁)+f’(x₁)(x-x₁)，
命x→+∞得f(x)→+∞，与f(x)有界矛盾．若f’(x₁)＜0，则当x＜x₁时有
f(x)=f(x₁)+f’(η)(x-x₁)＞f(x₁)+f’(x₁)(x-x₁)，
命x→-∞得f(x)→+∞，与f(x)有界矛盾．此矛盾证明了反证法的前提有错，故知存在ξ∈(-∞，+∞)，使f"(ξ)=0．