[多项选择]设f(x)在区间[a，b]上具有二阶导数，且f(a)=f(b)=0，f’(a)f’(b)＞0．证明：存在ξ∈(a，b)和η∈(a，b)，使f(ξ)=0及f"(η)=0．

参考答案:[详解A] (用反证法)若不存在ξ∈(a，b)使f(ξ)=0，则在区间[a，b]内恒有f(x)＞0或f(x)＜0．不妨设f(x)＞0(对f(x)＜0，类似可证)，则
[*]
从而f’(a)f’(b))≤0，这与已知条件矛盾，即在(a，b)内至少存在一点ξ，使f(ξ)=0．再由f(a)=f(ξ)=f(b)及罗尔定理，知存在η_A∈(a，ξ)和η_B∈(ξ，b)，使
f’(η_A)=f’(η_B)=0．
又在区间[η_A，η_B]上，对f’(x)应用罗尔定理，知存在η∈(η_A，η_B)[*](a，b)，使f"(η)=0．
[详解B] 不妨设f’(a)＞0，f’(b)＞0(对f’(a)＜0，f’(b))＜0时类似可证)，即
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由极限的保号性，知存在x_A∈(a，a+δ_A)和x_B∈(b-δ_B,b)，使f(x_A)＞0及f(x_B)＜0，其中δ_A，δ_B为充分小的正数．显然x_A＜x_B，在区间[x_A，x_B]上应用中值定理，存在ξ∈x_A，x_B[*](a，b))，使f(ξ)=0．
以下证明类似详解A．
答案解析:[考点提示] 本题关键是证明存在ξ∈(a，b)，使f(ξ)=0，因为再由f(a)=f(b)=0，根据罗尔定理．易证存在ξ∈(a，b)，使f"(η)=0．而证明f(ξ)=0可用反证法或连续函数的中值定理