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[简答题]已知二维非零向量X不是二阶方阵A的特征向量.
证明X,AX线性无关
[简答题]设向量α1,α2,…,αr是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系,向量β不是方程组Ax=0的解.
证明:向量组β,β+α1,β+α2,…,β+αr线性无关。
[简答题]设向量α1,α2,…,αt是齐次方程组Ax=0的一个基础解系,向量β不是方程组Ax=0的解即Aβ≠0.试证明:向量组β,β+α1,β+α2,…,β+αt线性无关.
[简答题]设向量α1,α2,…,αt是齐次方程组AX=0的一个基础解系,向量β不是方程组AX=0的解,即Aβ≠0.试证明:向量组β,β+α1,β+α2,…,β+αt,线性无关。
[单项选择]设向量组α1,α2,…,αs是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系,向量β不是方程组Ax=0的解,则向量组β,β+α1,β+α2,…,β+αs
A. 线性相关.
B. 线性无关.
C. 线性相关性与s有关.
D. 以上均不对.
[单项选择]已知η1,η2,η3,η4是齐次方程组Ax=0的基础解系,则下列向量组中也是Ax=0基础解系的是
A. η1+η2,2-η3,η3-η4,η4-η1.
B. η1+η2,η2-η3,η3-η4,η4+η1.
C. η1+η2,η2+η3,η3-η4,η4-η1.
D. η1,η2,η3,η4的等价向量组.
[简答题]已知4×3矩阵A=[α1,α2,α3],其中α1,α2,α3均为4维列向量,若非齐次线性方程组Ax=β的通解为(1,2,-1)T+k(1,-2,3)T,令B=[α1,α2,α3,β+α3],试求By=α1-α2的通解。
[简答题]设A和B均是m×n矩阵,r(A) +r(B) =n,若BBT=E且B的行向量是齐次方程组Ax=0的解,P是m阶可逆矩阵,证明:矩阵PB的行向量是Ax=0的基础解系.
[单项选择]设向量a1,a2是非齐次线性方程组AX=b的两个解,则下列向量中仍为该方程组解的是()
A. a1+a2
B. a1-a2
C. 2a1+a2
D. 2a1-a2
[单项选择]非齐次线性方程组Ax=b,对应的齐次方程组Ax=0,则下列结论正确的是( )。
A. ( 若Ax=0仅有零解,则Ax=b有唯一解
B. ( 若Ax=0有非零解,则Ax=b有无穷多组解
C. ( 若Ax=b有无穷多组解,则Ax=0仅有零解
D. ( 若Ax=凸有无穷多组解,则Ax=0有非零解
[单项选择]齐次线性方程组Ax=0有非零解的充分必要条件是
(A) A的任意两个列向量线性相关.
(B) A的任意两个列向量线性无关.
(C) A中必有一列向量是其余列向量的线性组合.
(D) A中任一列向量都是其余列向量的线性组合.
[简答题]已知A=(α1,α2,α3,α4)是4阶矩阵,其中α1,α2,α3,α4是4维列向量. 若齐次方程组Ax=0的通解是k(1,0,-3,2)T,证明α2,α3,α4是齐次方程组A*x=0的基础解系.
[填空题]设n元齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系中线性无关的解向量个数是n,则A=______.
[简答题]已知4元非齐次线性方程组Ax=b的系数矩阵A的秩为3,又η1,η2,η3是它的3个解向量,其中η1+η2=(1,1,0,2)T,η2+η3=(1,0,1,3)T,试求Ax=b的通解.
[简答题]已知3阶矩阵A与3维向量x,使得向量组x,Ax,A
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x线性无关.且满足A
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x=3Ax一2A
2
x.计算行列式∣A+E∣.
[单项选择]设ξ1,ξ2,ξ3,ξ1+aξ2-2ξ3均是非齐次线性方程组Ax=b的解,则对应齐次线性方程组Ax=0有解
(A) η1=2ξ1+nξ2+ξ3. (B) η2=2ξ1+3ξ2-2aξ3.
(C) η3=aξ1+2ξ2-ξ3. (D) η4=3ξ1-2aξ2+ξ3.
[单项选择]设α1,α2为齐次线性方程组AX=0的基础解系,β1,β2为非齐次线性方程组AX=b的两个不同解,则方程组AX=b的通解为______。
[简答题]已知A=(α1,α2,α3,α4)是4阶矩阵,α1,α2,α3,α4是4维列向量,若方程组Ax=β的通解是(1,2,2,1)T+k(1,-2,4,0)T,又B=(α3,α2,α1,β-α4),求方程组Bx=α1-α2的通解.
[简答题]已知A=(α1,α2,α3,α4)是四阶矩阵,α1,α2,α3,α4是四维列向量,若方程组Ax=β的通解是(1,2,2,1)T+k(1,-2,4,0)T,又B=(α3,α2,α1,β-α4),求方程组Bx=3α1+5α2-α3的通解.