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[简答题]
设A为m阶实对称矩阵,B为m×n实矩阵,BT为B的转置矩阵,试证:BTAB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r(B) =n.
[简答题]设A为n×n实对称矩阵,证明:r(A) =n的充分必要条件是存在n×n实矩阵B,使得AB+BTA正定,其中BT为B的转置.
[简答题]设A为m阶实对称矩阵且正定,B为m×n阶实矩阵,BT为B的转置矩阵,试证BTAB为正定矩阵的充分必要条件是矩阵B的秩r(B)=n.
[单项选择]设A为m×n实矩阵,r(A)=n,则
(A) ATA必合同于n阶单位矩阵. (B) AAT必等价于m阶单位矩阵.
(C) ATA必相似于n阶单位矩阵. (D) AAT是m阶单位矩阵.
[填空题]已知A是3阶矩阵,A*是A的伴随矩阵,如果矩阵A的特征值是1,2,3,那么矩阵(A*)*的最大特征值是().
[简答题]设A为n阶正定矩阵,B为n×m矩阵,试证:
(Ⅰ)r(B)=r(BTAB):
(Ⅱ)BTAB正定的充分必要条件为r(B)=m.
[单项选择]设A是n阶实对称矩阵,P是n阶可逆矩阵,已知n维列向量α是A的属于特征值λ的特征向量,则矩阵(P
一1
AP)
T
属于特征值λ的特征向量是( )
A. P
一1
α。
B. P
T
α。
C. Pα。
D. (P
一1
)
T
α。
[单项选择]已知A是n阶可逆矩阵,那么与A有相同特征值的矩阵是
A. AT.
B. A2.
C. A-1.
D. A-E.
[单项选择]已知A是4阶矩阵,A*是A的伴随矩阵,若A*的特征值是1,-1,2,4,那么不可逆矩阵是
A. A-E.
B. 2A-E.
C. A+2E.
D. A-4E.
[单项选择]已知A=(aij)为3阶矩阵,ATA=E(AT是A的转置矩阵,E是单位矩阵,若aij=-1,b=(1,0,0)T,则方程组AX=b的解X=()。
A. (-1,1,0)T
B. (-1,0,1)T
C. (-1,-1,0)T
D. (-1,0,0)T
[简答题]已知3阶矩阵A有三个互相正交的特征向量,证明A是对称矩阵.
[填空题]已知A是四阶实对称矩阵,秩r(A)=3,矩阵A满足A4-A3-A2-2A=O则与A相似的对角矩阵是______.
[简答题]已知矩阵A=(aij)n×n的秩为n-1,求A的伴随矩阵A*的特征值和特征向量.
[简答题]设A是m×n矩阵,对矩阵A作初等行变换得到矩阵B,证明矩阵A的列向量与矩阵B相应的列向量有相同的线性相关性.
[简答题]已知A是n阶方阵,AT是A的转置矩阵,
举二阶矩阵的例子说明A和AT的特征向量可以不相同;
[填空题]已知A是四阶实对称矩阵,秩r(A)=3,矩阵A满足A
4
-A
3
-A
2
-2A=0则与A相似的对角矩阵是______.