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[单项选择]设α1,α2,α3是四元非齐次线性方程组AX=b的三个解,秩(A)=3,k任意实数,则AX=b的通解X=()。
A. α1+k(α1-α2-α3)
B. α1+k(α1+α2+α3)
C. α1+k(2α1-α2-α3)
D. α1+k(3α1-2α2-2α3)
[简答题]已知η是AX=b的一个特解,ξ1,ξ2,…,ξn-r是对应齐次方程组AX=0的基
方程组AX=b的任一个解均可由η,η+ξ1,…,η+ξn-r线性表出.
[简答题]已知η是AX=b的一个特解,ξ1,ξ2,…,ξn-r是对应齐次方程组AX=0的基
η,η+ξ1,η+ξ2,…,η+ξn-r是AX=b的n-r+1个线性无关解;
[填空题]已知α1,α2,α3是四元非齐次线性方程组AX=b的3个解,其中
2α1-α2=[0,2,2,2]T,
α1+α2+α3=[4,-1,2,3]T,
2α2+α3=[5,-1,0,1]T,秩r(A)=2,那么方程组AX=b的通解是______.
[单项选择]已知η1,η2,η3,η4是齐次方程组Ax=0的基础解系,则下列向量组中也是Ax=0基础解系的是
(A) η1+η2,η2-η3,η3-η4,η4-η1.
(B) η1+η2,η2- η3,η3-η4,η4+η1.
(C) η1+η2,η2+η3,η3-η4,η4-η1.
(D) η1,η2,η3,η4的等价向量组.
[单项选择]非齐次线性方程组Ax=b,对应的齐次方程组Ax=0,则下列结论正确的是( )。
A. ( 若Ax=0仅有零解,则Ax=b有唯一解
B. ( 若Ax=0有非零解,则Ax=b有无穷多组解
C. ( 若Ax=b有无穷多组解,则Ax=0仅有零解
D. ( 若Ax=凸有无穷多组解,则Ax=0有非零解
[单项选择]设向量组α1,α2,…,αs是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系,向量β不是方程组Ax=0的解,则向量组β,β+α1,β+α2,…,β+αs
A. 线性相关.
B. 线性无关.
C. 线性相关性与s有关.
D. 以上均不对.
[简答题]设向量α1,α2,…,αr是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系,向量β不是方程组Ax=0的解.
证明:向量组β,β+α1,β+α2,…,β+αr线性无关。
[简答题]设向量α1,α2,…,αt是齐次方程组Ax=0的一个基础解系,向量β不是方程组Ax=0的解即Aβ≠0.试证明:向量组β,β+α1,β+α2,…,β+αt线性无关.
[简答题]设向量α1,α2,…,αt是齐次方程组AX=0的一个基础解系,向量β不是方程组AX=0的解,即Aβ≠0.试证明:向量组β,β+α1,β+α2,…,β+αt,线性无关。
[单项选择]设ξ1,ξ2,ξ3,ξ1+aξ2-2ξ3均是非齐次线性方程组Ax=b的解,则对应齐次线性方程组Ax=0有解
(A) η1=2ξ1+nξ2+ξ3. (B) η2=2ξ1+3ξ2-2aξ3.
(C) η3=aξ1+2ξ2-ξ3. (D) η4=3ξ1-2aξ2+ξ3.
[单项选择]设α1,α2为齐次线性方程组AX=0的基础解系,β1,β2为非齐次线性方程组AX=b的两个不同解,则方程组AX=b的通解为______。
[单项选择]已知α1,α2,α3,α4是齐次方程组AX=0的基础解系,则基础解系还可以是______
A. α1-α2,α2-α3,α3-α4
B. α1+α2,α+α3,α3+α4,α4+α1
C. α1-α2,α2+α3,α3-α4,α4+α1
D. α1+α2,α2+α3,α3+α4,α4-α1
[单项选择]已知4元非齐次线性方程组Ax=b的系数矩阵的秩等于3,且η1,η2,η3是3个不同的解向量,则通解是()。
A. x=k1(η1-η2)+η3
B. x=k1η1+k2η2+η3
C. x=k1η1+k2η2+k3η3
D. x=k1(η1+η2)+η3
[简答题]已知4×3矩阵A=[α1,α2,α3],其中α1,α2,α3均为4维列向量,若非齐次线性方程组Ax=β的通解为(1,2,-1)T+k(1,-2,3)T,令B=[α1,α2,α3,β+α3],试求By=α1-α2的通解。
[简答题]已知A是4阶矩阵,α1与α2是线性方程组Ax=b的两个不同的解,则r(A*)*=______.