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[简答题]设A为m阶正定矩阵，B是m×n矩阵，证明矩阵BTAB正定的充分必要条件是秩r(B)=n．
[简答题]设A为m阶实对称矩阵且正定，B为m×n阶实矩阵，BT为B的转置矩阵，试证BTAB为正定矩阵的充分必要条件是矩阵B的秩r(B)=n．
[简答题]设A，B都是n阶实对称矩阵，其中A是正定矩阵，证明存在实数t使得tA+B是正定矩阵．
[简答题]设A是n阶实矩阵，则A为正定矩阵的充要条件是存在n阶正定矩阵B，使得A=B2．
[简答题]已知A与B均为n阶正定矩阵，证明AB是正定矩阵的充分必要条件是AB=BA．
[简答题]设A，B都是实对称矩阵，且A为正定矩阵，试证：一定存在满秩矩阵C，使CTAC，CTBC都是对角矩阵.
[简答题]
设A为m阶实对称矩阵，B为m×n实矩阵，BT为B的转置矩阵，试证：BTAB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r(B) =n．
[单项选择]已知A，B均为n阶正定矩阵，则下列结论不正确的是
(A) A+B，A-B，AB是正定矩阵．
(B) AB的特征值全大于零．
(C) 若AB=BA，则AB是正定矩阵．
(D) 对任意正常数k与l，kA+lB为正定矩阵．
[简答题]设A，B都是n阶正定矩阵，P为n×m矩阵，证明：PT(A+B)P正定的充分必要条件是r(P)=m．
[单项选择]正定实二次型的矩阵必是
(A) 实对称矩阵且所有元素为正数． (B) 实对称矩阵且对角线上元素为正数．
(C) 实对称矩阵且各阶顺序主子式为正数． (D) 实反对称矩阵且行列式值为正数．
[简答题]设A是n阶实对称矩阵，证明秩r(A)=n的充分必要条件是存在n阶矩阵B，使AB+BTA是正定矩阵．
[单项选择]下列二次型中属于正定二次型的是
(A) f(x1，x2，x3，x4)=(x1-x2)2+(x2-x3)2+(x3-x4)2+(x4-x1)2．
(B) f2(x1，x2，x3，x4)=(x1+x2)2+(x2+x3)2+(x3+x4)2+(x4+x1)2．
(C) f3(x1，x2，x3，x4)=(x1-x2)2+(x2+x3)2+(x3-x4)2+(x4+x1)2．
(D) f4(x1，x2，x3，x4)=(x1-x2)2+(x2+x3)2+(x3+x4)2+(x4+x1)2
[单项选择]设A是3阶矩阵，其特征值为1，-1，-2，则下列矩阵中属于可逆矩阵的是
A. A+E.
B. A-E.
C. A+2E.
D. 2A+E.
[简答题]设A为n阶正定矩阵，B为n×m矩阵，试证：
(Ⅰ)r(B)=r(BTAB)：
(Ⅱ)BTAB正定的充分必要条件为r(B)=m．
